Question

（10分）已知函数，设为的导数，
（1）求的值；
（2）证明：对任意，等式都成立.

Answer 1

(1)；（2）证明见解析.

试题分析：（1）本题首先考查复合函数的求导，如；
（2）要找到式子的规律，当然主要是找式子的规律，为了达到此目标，我们让看看有什么特点，由（1），对这个式子两边求导可得，再求导，由引可归纳出，从上面过程还可看出应该用数学归纳法证明这个结论.
试题解析：（1）由已知，
，
所以，，
故.
（2）由（1）得，
两边求导可得，
类似可得，
下面我们用数学归纳法证明对一切都成立，
（1）时命题已经成立，
（2）假设时，命题成立，即，
对此式两边求导可得，
即，因此时命题也成立.
综合（1）（2）等式对一切都成立.
令，得，
所以.
【考点】复合函数的导数，数学归纳法.