Question

已知函数，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为．
（1）求；
（2）证明：当时，曲线与直线只有一个交点．

Answer 1

（1）；（2）详见解析．

试题分析：（1），由导数的几何意义得，故切线方程为，将点代入求；（2）曲线与直线只有一个交点转化为函数有且只有零点．一般思路往往利用导数求函数的单调区间和极值点，从而判断函数大致图象，再说明与轴只有一个交点．本题首先入手点为，当时，，且，，所以在有唯一实根．只需说明当时无根即可，因为，故只需说明，进而转化为求函数的最小值问题处理．
（1），．曲线在点处的切线方程为．由题设得，，所以．
（2）由（1）得，．设．由题设得．当时，，单调递增，，，所以在有唯一实根．当时，令，则．，在单调递减；在单调递增．所以．所以在没有实根，综上，在上有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点．