Question

设有一样本x₁，x₂，…，x_n，其标准差为s_x，另有一样本y₁，y₂，…，y_n，其中y_i=3x_i+2（i=1，2，…，n），其标准差为s_y，求证：s_y=3s_x．

Answer 1

【答案】分析：先根据平均数的计算公式求出、的关系，再利用方差的计算公式结合已知推出公式s_y²与s_x²的关系，进而求出s_y与s_x的关系．
解答：证明：∵=，
∴=
=

=3+2．
∴s_y²=[（y₁²+y₂²+…+y_n²）-n²]
=[（3x₁+2）²+（3x₂+2）²+…+（3x_n+2）²-n（3+2）²]
=[9（x₁²+x₂²+…+x_n²）+12（x₁+x₂+…+x_n）+4n-n（9²+12+4）]
=[（x₁²+x₂²+…+x_n²）-n²]
=9s_x²．
∵s_x≥0，s_y≥0，
∴s_y=3s_x．
点评：本题考查用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差，属基础题，熟练应用样本的平均数、方差公式是解答好本题的关键．