Question

设有一样本x₁，x₂，…，x_n，其标准差为s_x，另有一样本y₁，y₂，…，y_n，其中y_i=3x_i+2（i=1，2，…，n），其标准差为s_y，求证：s_y=3s_x．

Answer 1

证明：∵

.

x

=

x1+x2+…+xn

n

，
∴

.

y

=

y1+y2+…+yn

n

=

(3x1+2)+(3x2+2)+…+(3x2+2)

n

3(x1+x2+…+xn)+2n

n

=3

.

x

+2．
∴s_y²=

1

n

[（y₁²+y₂²+…+y_n²）-n

.

y

²]
=

1

n

[（3x₁+2）²+（3x₂+2）²+…+（3x_n+2）²-n（3

.

x

+2）²]
=

1

n

[9（x₁²+x₂²+…+x_n²）+12（x₁+x₂+…+x_n）+4n-n（9

.

x

²+12

.

x

+4）]
=

9

n

[（x₁²+x₂²+…+x_n²）-n

.

x

²]
=9s_x²．
∵s_x≥0，s_y≥0，
∴s_y=3s_x．