Question

3．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=AA₁=1，点E是棱AB的中点
（1）求证：B₁C∥平面A₁DE；
（2）求异面直线B₁C与A₁E所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由A₁D∥B₁C，能证明B₁C∥平面A₁DE．
（2）由A₁D∥B₁C，知∠DA₁E是异面直线B₁C与A₁E所成角，由此能求出异面直线B₁C与A₁E所成角的大小．

解答 证明：（1）∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D∥B₁C
A₁D?平面A₁DE，B₁C?平面A₁DE，
∴B₁C∥平面A₁DE．
解：（2）∵A₁D∥B₁C，∴∠DA₁E是异面直线B₁C与A₁E所成角，
∵AB=2，AD=AA₁=1，点E是棱AB的中点，
∴A₁D=$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，A₁E=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
∴△A₁DE是等边三角形，
∴∠DA₁E=60°，
∴异面直线B₁C与A₁E所成角为60°．

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．