Question

8．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）的最小正周期是π，将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度后所得的函数图象过点P（0，1），则函数f（x）=sin（ωx+φ）（　　）

• A． 在区间[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{3}$]上单调递减
• B． 在区间[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{3}$]上单调递增
• C． 在区间[-$\frac{π}{3}，\frac{π}{6}$]上单调递减
• D． 在区间[-$\frac{π}{3}，\frac{π}{6}$]上单调递增

Answer 1

分析 利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的单调性．

解答 解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）的最小正周期是π，∴$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度后所得的函数为y=sin[2（x+$\frac{π}{3}$）+φ]=sin（2x+$\frac{2π}{3}$+φ），
根据所得图象过点P（0，1），可得 sin（$\frac{2π}{3}$+φ）=1，∴φ=-$\frac{π}{6}$，
则函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，
令k=0，可得f（x）在区间[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{3}$]上单调递增，故B满足条件．
同理求得函数的减区间为[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z，
故选：B．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．