Question

15．直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D．
（1）证明：DB=DC；
（2）设圆的半径为1，BC=3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

Answer 1

分析 （1）构造辅助线DE，交BC于点G．由弦切角定理，圆上的同弧，等弧的性质，通过导角，可以得知∠CBE=∠BCE，BE=CE，又因为DE为直径，即∠DCE=90°，由勾股定理可证得DB=DC；
（2）由（1）可得DG是BC的中垂线，即可求得BG的长度．设DE的中点为O，连结BO，求得∠BOG=60°，通过导角，可得CF⊥BF，即可求得Rt△BCF外接圆的半径．

解答 （1）证明：连结DE，交BC于点G．
由弦切角定理得，∠ABE=∠BCE．
而∠ABE=∠CBE，
故∠CBE=∠BCE，BE=CE．
又因为DB⊥BE，
所以DE为直径，∠DCE=90°，
由勾股定理可得DB=DC．
（2）解：由（1）知，∠CDE=∠BDE，DB=DC，
故DG是BC的中垂线，
所以BG=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG=60°．
从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°，
所以CF⊥BF，
故Rt△BCF外接圆的半径等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查弦切角定理和勾股定理，考查学生灵活转化问题的能力，属于中档题．