Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}中，b₁＝a₁，b_n＝a_n－a_n－1(n≥2)，且a_n＋S_n＝n.

(1)设c_n＝a_n－1，求证：{c_n}是等比数列；

(2)求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

解析 (1)证明　∵a_n＋S_n＝n，①

∴a_n＋1＋S_n＋1＝n＋1.②

②－①得a_n＋1－a_n＋a_n＋1＝1，

∴2a_n＋1＝a_n＋1，∴2(a_n＋1－1)＝a_n－1，

∴＝，∴{a_n－1}是等比数列．

∵首项c₁＝a₁－1，又a₁＋a₁＝1.

∴a₁＝，∴c₁＝－，公比q＝.

又c_n＝a_n－1，

∴{c_n}是以－为首项，公比为的等比数列．

(2)由(1)可知c_n＝，

∴a_n＝c_n＋1＝1－ⁿ.

∴当n≥2时，b_n＝a_n－a_n－1＝1－ⁿ

＝^n－1－ⁿ＝ⁿ.

又b₁＝a₁＝代入上式也符合，∴b_n＝ⁿ.