Question

若过点（0，0）的直线L与曲线y=x³-3x²+2x相切，则直线L的方程为

2x-y=0或x+4y=0

．

Answer 1

分析：设切点为（x₀，y₀），则y₀=x₀³-3x₀²+2x₀，一方面利用两点斜率公式表示切线斜率k，另一方面，根据导数的几何意义求出曲线在点x₀处的切线斜率，便可建立关于x₀的方程．继而得出k的值，即可求l的方程．

解答：解：设直线l：y=kx．∵y′=3x²-6x+2，∴y′|_x=0=2，
又∵直线与曲线均过原点，于是直线y=kx与曲线y=x³-3x²+2相切于原点时，k=2．直线L的方程为 2x-y=0
若直线与曲线切于点（x₀，y₀）（x₀≠0），则k=

y0

x0

，∵y₀=x₀³-3x₀²+2x₀，
∴

y0

x0

=x₀²-3x₀+2，
又∵k=y′|_x=x0=3x₀²-6x₀+2，
∴x₀²-3x₀+2=3x₀²-6x₀+2，∴2x₀²-3x₀=0，
∵x₀≠0，∴x₀=

3

2

，∴k=x₀²-3x₀+2=-

1

4

，直线L的方程为 x+4y=0
故答案为：2x-y=0或x+4y=0

点评：本题主要考查了导数的几何意义，来求切线方程问题．要注意所给的点分是否为切点考虑．