Question

椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）离心率为

3

2

，且过P（

6

，

2

2

）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知直线l过点M（-

1

2

，0），且与开口朝上，顶点在原点的抛物线C切于第二象限的一点N，直  线l与椭圆E交于A，B两点，与y轴交与D点，若

AB

=λ

AN

，

BD

=μ

BN

，且λ+μ=

5

2

，求抛物线C的标准方程．

Answer 1

分析：（1）利用离心率计算公式、点在椭圆上及a，b，c的关系可得

e= c a = 3 2 ( 6 )2 a2 + ( 2 2 )2 b2 =1 a2=b2+c2

，解出即可；
（2）设抛物线C的方程为y=ax²（a＞0），直线与抛物线C切点为(x0，a

x

2 0

)．利用导数的几何意义可得切线的斜率，进而得到切线方程，即可得到切点N，进一步简化切线方程，把直线l的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用已知向量关系式

AB

=λ

AN

，

BD

=μ

BN

，且λ+μ=

5

2

，即可得到a及抛物线C的标准方程．

解答：解．（1）由题意可得

e= c a = 3 2 ( 6 )2 a2 + ( 2 2 )2 b2 =1 a2=b2+c2

，解得

a2=8 b2=2 c2=6

，
∴椭圆E的方程为

x2

8

+

y2

2

=1．
（2）设抛物线C的方程为y=ax²（a＞0），
直线与抛物线C切点为(x0，a

x

2 0

)．
∵y′=2ax，∴切线l的斜率为2ax₀，
∴切线方程为y-a

x

2 0

=2ax0(x-x0)，
∵直线l过点M(-

1

2

，0)，∴-a

x

2 0

=2ax0(-

1

2

-x0)，
∵点N在第二象限，∴x₀＜0，
解得x₀=-1．∴N（-1，a）．
∴直线l的方程为y=-2ax-a．
代入椭圆方程并整理得：代入椭圆方程整理为（1+16a²）x²+16a²x+4a²-8=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴x1+x2=

-16a2

1+16a2

，x1x2=

4a2-8

1+16a2

．
由

AD

=λ

AN

，

BD

=μ

BN

，
∴λ=

x1

1+x1

，μ=

x2

1+x2

．
∴λ+μ=

x1

1+x1

+

x2

1+x2

=

2x1x2+x1+x2

1+x1+x2+x1x2

=

8a2+16

7-4a2

．
∵λ+μ=

5

2

，∴

8a2+16

7-4a2

=

5

2

，又a＞0，解得a=

3

6

．
∴抛物线C的标准方程为y=

3

6

x2，其标准方程为x2=2

3

y．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为根与系数的关系、直线与抛物线相切问题、导数的几何意义、向量的运算等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．