Question

椭圆E：=1（a＞b＞0）离心率为，且过P（，）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知直线l过点M（-，0），且与开口朝上，顶点在原点的抛物线C切于第二象限的一点N，直  线l与椭圆E交于A，B两点，与y轴交与D点，若=，，且λ+μ=，求抛物线C的标准方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用离心率计算公式、点在椭圆上及a，b，c的关系可得，解出即可；
（2）设抛物线C的方程为y=ax²（a＞0），直线与抛物线C切点为．利用导数的几何意义可得切线的斜率，进而得到切线方程，即可得到切点N，进一步简化切线方程，把直线l的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用已知向量关系式=，，且λ+μ=，即可得到a及抛物线C的标准方程．
解答：解．（1）由题意可得，解得，
∴椭圆E的方程为．
（2）设抛物线C的方程为y=ax²（a＞0），
直线与抛物线C切点为．
∵y′=2ax，∴切线l的斜率为2ax，
∴切线方程为，
∵直线l过点M，∴，
∵点N在第二象限，∴x＜0，
解得x=-1．∴N（-1，a）．
∴直线l的方程为y=-2ax-a．
代入椭圆方程并整理得：代入椭圆方程整理为（1+16a²）x²+16a²x+4a²-8=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴，．
由，，
∴，．
∴λ+μ===．
∵，∴，又a＞0，解得．
∴抛物线C的标准方程为，其标准方程为．
点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为根与系数的关系、直线与抛物线相切问题、导数的几何意义、向量的运算等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．