Question

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，以O为角的顶点，x轴正半轴为始边的角α、β的终边分别与单位圆交于点A，B，若点A的横坐标是$\frac{4}{5}$，点B的纵坐标是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）求$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用条件求得A、B的坐标，再利用两角差的余弦公式求得cos（α-β）的值．
（2）根据 $\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$夹角的余弦值cosθ=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，计算求的结果．

解答 解：由题意可知点A的纵坐标为$\sqrt{{1-（\frac{4}{5}）}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，∴点A（$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$）．
点B的横坐标为-$\sqrt{{1-（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，∴点B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
所以，根据三角函数的定义可知，sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$，sinβ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosβ=-$\frac{1}{2}$，
（1）cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{4}{5}$•（-$\frac{1}{2}$）+$\frac{3}{5}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$．
（2）因为$\overrightarrow{OA}$=（$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$），$\overrightarrow{OB}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
故 $\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$夹角的余弦值cosθ=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{4}{5}$•（-$\frac{1}{2}$）+$\frac{3}{5}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{-4+3\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，属于中档题．