Question

（本小题满分13分）函数（为常数）的图象过点．

（1）求的值；

（2）函数在区间上有意义，求实数的取值范围；

（3）讨论关于的方程（为常数）的正根的个数.

Answer 1

（1）；（2）；（3）3个.

【解析】

试题分析：（1）依题意直接代入得；（2）将代入得，要使其在区间上有意义，只需满足对恒成立，得，令，先确定在上的单调性（可利用求导，也可利用定义），再求在上的最小值，即可得到实数的取值范围；（3）求方程（为常数）的正根的个数，可以转化为求函数与图像交点个数，其中的图像和的大小有关，所以要分，，三种情况讨论，详见解析.

试题解析：（1）依题意有． 3分

（2）由（1）得，则在区间上有意义，即对恒成立，得，令，先证其单调递增：

法1∵ 在上恒成立，故在递增，

法2： 任取，则

因为，则，故在递增，则，得． 8分

（3）结合图象有：

①当时，正根的个数为0；

如图一

②当时，正根的个数为1；

如图二

③当时，正根的个数为2；

如图三 13分

考点：（1）待定系数法；（2）导数的应用及恒成立问题；（3）函数图像.