Question

【题目】如图1，在矩形中，，分别是的中点，分别是的中点，将四边形，分别沿，折起，使平面平面，平面平面，如图2所示，是上一点，且.

（1）求证：；

（2）线段上是否存在点，使得？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）存在，.

【解析】

（1）结合平面图形的性质，利用线面垂直的判定定理可得平面，则，再由面面垂直证明线面垂直，进而可得，利用勾股定理可得，从而可得结论；（2）当时，平面，在上取点，使得，连接，可证明平面，此时.

（1）折叠前，

所以，又，

所以，

因为，所以

因为平面平面，平面平面 ，，所以

所以

由（1）得，所以

在梯形中，易得，，所以，

，所以.

（2）

当时，.

在上取点，使得，连结，

所以

又，所以，

，，

是平行四边形，所以，

此时

所以当时，