Question

已知函数满足对任意实数都有成立，且当时，

,.

（1）求的值；

（2）判断在上的单调性，并证明；

（3）若对于任意给定的正实数，总能找到一个正实数，使得当时，，则称函数在处连续。

试证明：在处连续．

 

Answer 1

（1）4；（2）递增，证明见解析；（3）祥见解析．

【解析】

试题分析：（1）由条件，利用赋值法求f（5）．

（2）先判断函数的单调性，然后利用函数单调性的定义证明，将f（x1）转化为条件形式，然后进行推理证明．

（3）根据函数连续性的定义，任意给定的正实数ε，确定一个正实数σ，使得当不等式|x-x0|＜σ时，|f（x）-f（x0）|＜ε成立即可．

试题解析：（1） ；

（2）设，则

在上单调递增；

（3）令，得 对任意

又

要证 对任意

当时，取，则当即时，由单增可得

即；

当时，必存在使得 取，则当

即时，有

而

综上，在处连续．

考点：抽象函数的性质和应用．