Question

14．已知数列{a_n}满足a₁=10，a_n+1-a_n=2n（n∈N^*），则$\frac{a_n}{n}$的最小值为$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 利用“累加求和”方法可得a_n，利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答 解：∵a₁=10，a_n+1-a_n=2n（n∈N^*），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+$（{a}_{n-1}-{a}_{{n}_{-2}}）$+…+（a₂-a₁）+a₁
=2（n-1）+2（n-2）+…+2+10
=2×$\frac{（n-1）n}{2}$+10
=n（n-1）+10．
∴$\frac{a_n}{n}$=n-1+$\frac{10}{n}$，
考察函数f（x）=x+$\frac{10}{x}$-1的单调性，
f′（x）=1-$\frac{10}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+\sqrt{10}）（x-\sqrt{10}）}{{x}^{2}}$，
∴函数f（x）在$（0，\sqrt{10}）$上单调递减，在$（\sqrt{10}，+∞）$上单调递增．
又f（3）=2+$\frac{10}{3}$=$\frac{16}{3}$，f（4）=3+$\frac{5}{2}$=$\frac{11}{2}$，
可知：当n=3时，f（n）取得最小值$\frac{16}{3}$．
故答案为：$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．