Question

4．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．
（Ⅰ）求证：AC平分∠DAB；
（Ⅱ）若AB=9，AC=6，求CD．

Answer 1

分析 （1）连接BC，利用弦切角定理得出△ADC∽△ACB，故而∠BAC=∠DAC；
（2）根据相似三角形列出比例式计算AD，从而得出CD．

解答 证明：（Ⅰ）连接BC，
∵AB是⊙O的直径，则∠ACB=∠ADC=90°，
∵CD是⊙O的切线，∴∠DCA=∠CBA．
∴△ADC∽△ACB，
∴∠BAC=∠DAC，
∴AC平分∠DAB．
（Ⅱ）∵△ADC∽△ACB，∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，
∴$\frac{9}{6}=\frac{6}{AD}$，解得AD=4，∴$CD=\sqrt{A{C^2}-A{D^2}}=2\sqrt{5}$．

点评 本题考查了圆的切线的性质，相似三角形的判定与性质，属于基础题．