题目内容
已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+3=0（m∈R）有实数根，且两根分别为x1、x2，
（1）求证：x1+x2+x1•x2的值为定值，并写出这个定值；
（2）求（x1+x2）•x1•x2的最大值．
（1）求证：x1+x2+x1•x2的值为定值，并写出这个定值；
（2）求（x1+x2）•x1•x2的最大值．
分析：（1）由韦达定理：x1+x2=-
，x1•x2=
，易求出x1+x2+x1•x2的值为定值
（2）由关于x的二次方程x2+2mx+2m+3=0（m∈R）有实数根，可得△≥0，进而求出m的取值范围，由韦达定理求出（x1+x2）•x1•x2的表达式后，分析其单调性，进而可得其最大值．
| b |
| a |
| c |
| a |
（2）由关于x的二次方程x2+2mx+2m+3=0（m∈R）有实数根，可得△≥0，进而求出m的取值范围，由韦达定理求出（x1+x2）•x1•x2的表达式后，分析其单调性，进而可得其最大值．
解答：解：（1）由韦达定理知x1+x2=-2m，x1•x2=2m+3--------（2分）
∴x1+x2+x1•x2=3为定值--------（1分）
（2）（x1+x2）•x1•x2=-2m•（2m+3）=-4（m+
）2+
--------（1分）
∵关于x的二次方程x2+2mx+2m+3=0（m∈R）有实数根，
∴△=4m2-4（2m+3）≥0
即m2-2m-3≥0
解得m≤-1，或m≥3--------（2分）
又∵（x1+x2）•x1•x2=-2m•（2m+3）=-4（m+
）2+
--------（1分）
在m≤-1时为增函数，m=-1时最大值为2，---（2分）
在m≥3时为减函数，m=3时最大值为-54，
∴（x1+x2）•x1•x2的最大值为2--------（2分）
∴x1+x2+x1•x2=3为定值--------（1分）
（2）（x1+x2）•x1•x2=-2m•（2m+3）=-4（m+
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
∵关于x的二次方程x2+2mx+2m+3=0（m∈R）有实数根，
∴△=4m2-4（2m+3）≥0
即m2-2m-3≥0
解得m≤-1，或m≥3--------（2分）
又∵（x1+x2）•x1•x2=-2m•（2m+3）=-4（m+
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| 4 |
| 9 |
| 4 |
在m≤-1时为增函数，m=-1时最大值为2，---（2分）
在m≥3时为减函数，m=3时最大值为-54，
∴（x1+x2）•x1•x2的最大值为2--------（2分）
点评：本题考查的知识点是韦达定理，函数的最值，熟练掌握韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）是解答的关键．
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