Question

已知关于x的二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)的两根α，β满足6α-2αβ+6β=3，且a₁=1
（1）试用a_n表示a_n+1；
（2）求数列的通项公式a_n；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．并求S_n的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直接利用韦达定理求出两根之和以及两根之积，再代入6α-2αβ+6β=3整理即可得到结论；
（2）对（1）的结论两边同时减去

2

3

整理，证明数列{a_n-

2

3

}是等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（3）利用等比数列的求和公式，求和，即可求得结论．

解答：解：（1）∵关于x的二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)的两根α，β，
∴α+β=

an+1

an

，αβ=

1

an

，
∵6α-2αβ+6β=3，
∴6•

an+1

an

-2•

1

an

=3
∴a_n+1=

1

2

a_n+

1

3

；
（2）由（1）知，a_n+1-

2

3

=

1

2

（a_n-

2

3

），
∴{a_n-

2

3

}是以

1

3

为首项，公比为

1

2

的等比数列，
∴a_n-

2

3

=

1

3

•(

1

2

)n-1，
∴a_n=

2

3

+

1

3

•(

1

2

)n-1；
（3）S_n=

2

3

n+

1 3 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

2

3

n+

2

3

(1-

1

2n

)为递增函数，
∴S_n≥1．

点评：本题是对数列的递推关系以及韦达定理和等比数列知识的综合考查，考查数列的通项与求和，属于中档题．