Question

如图，ABCD是正方形空地，边长为30m，电源在点P处，点P到边AD，AB距离分别为9m，3m．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，MN：NE=16：9．线段MN必须过点P，端点M，N分别在边AD，AB上，设AN=x（m），液晶广告屏幕MNEF的面积为S（m²）．
（1）用x的代数式表示AM；
（2）求S关于x的函数关系式及该函数的定义域；
（3）当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？

Answer 1

【答案】分析：（1）在△AMN中利用比例关系即可表示AM；
（2）由（1），根据勾股定理用x表示MN，再由MN：NE=16：9，可以用x表示NE，即能表示面积S，结合x为边长求定义域即可；
（3）根据（2），求出函数的导函数，利用函数的导数求函数在给定区间上的最小值即可．
解答：解：（1）依题意，（10≤x≤30）；（2分）
（2）．（4分）
∵MN：NE=16：9，∴．
∴．（6分）
定义域为[10，30]．（8分）
（3）=，（11分）
令S′=0，得x=0（舍），．（13分）
当时，S′＜0，S关于x为减函数；
当时，S′＞0，S关于x为增函数；
∴当时，S取得最小值．（15分）
答：当AN长为m时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小．（16分）
点评：本题考查用数学知识解决实际应用题的能力，主要考查构建函数模型，函数的定义域，以及用函数的导数研究函数最值，是中档题．