Question

（2013•泉州模拟）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线AC₁上任取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球．设AP=x，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f（x），则函数f（x）的图象最有可能的是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：①当x=1；②当x=

1

2

；③当x=

2

．其中①③两种情形所得弧长相等且为函数f（x）的最大值，根据图形的相似，②中弧长为①中弧长的一半．对照选项，即可得出答案．

解答：解：如图，球面与正方体的表面都相交，
根据选项的特点，我们考虑三个特殊情形：①当x=1；②当x=

1

2

；③当x=

2

．
①当x=1时，以A为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的红色的弧线，其弧长为：3×

1

4

×2π×1=

3π

2

，且为函数f（x）的最大值；
②当x=

1

2

时，以A为球心，

1

2

为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的兰色的弧线，根据图形的相似，其弧长为①中弧长的一半；
③当x=

2

．以A为球心，

2

为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的粉红色的弧线，其弧长为：3×

1

4

×2π×1=

3π

2

，且为函数f（x）的最大值；
对照选项，B正确．
故选B．

点评：本小题主要考查棱柱的结构特征、函数的图象等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．