题目内容
如图所示为某风景区设计建造的一个休闲广场，广场的中间造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成对称的十字形区域，十字形区域面积为2000m2，计划在正方方形MNPQ上建一座“观景花坛”，造价为每平方4100元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺石材地坪，价格为每平方110元，再在四个空角（如△DQH等）上铺草坪，价格为每平方80元．设AD长为xm，DQ长为ym．（I）试找出x与y满足的等量关系式；
（Ⅱ）若该广场的占地面积不超过2800m2，求x的取值范围；
（Ⅲ）求该广场的总造价的最小值及此时AD的长．
分析：（Ⅰ）由已知，十字形区域面积为矩形DAMQ面积的四倍与正方形MNPQ面积之和，得出4xy+x2=2000
（Ⅱ） x的取值范围应有（Ⅰ）中的制约关系，和占地面积不超过2800m2共同确定．
（Ⅲ） 设广场的总造价为P则P=4100x2+110•4xy+80•2y2，化简整理得出4000x2+
+180000，再利用基本不等式 求解即可．
（Ⅱ） x的取值范围应有（Ⅰ）中的制约关系，和占地面积不超过2800m2共同确定．
（Ⅲ） 设广场的总造价为P则P=4100x2+110•4xy+80•2y2，化简整理得出4000x2+
| 40000000 |
| x2 |
解答：解：（Ⅰ）由已知，十字形区域面积为矩形DAMQ面积的四倍与正方形MNPQ面积之和，
得出x与y满足的等量关系式为：4xy+x2=2000
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得y=
，
由y＞0，得0＜x＜20
广场的占地面积S=2000+2y2≤2800
则y≤20，即y=
≤20
得x≥20，
综上20≤x＜20
（Ⅲ） 设广场的总造价为P
则P=4100x2+110•4xy+80•2y2
=4100x2+110•（2000-x2）+160（
-
）2
=4000x2+
+180000
≥980000
取等号的条件是x=10．
得出x与y满足的等量关系式为：4xy+x2=2000
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得y=
| 2000-x2 |
| 4x |
由y＞0，得0＜x＜20
| 5 |
广场的占地面积S=2000+2y2≤2800
则y≤20，即y=
| 2000-x2 |
| 4x |
得x≥20，
综上20≤x＜20
| 5 |
（Ⅲ） 设广场的总造价为P
则P=4100x2+110•4xy+80•2y2
=4100x2+110•（2000-x2）+160（
| 500 |
| x |
| x |
| 4 |
=4000x2+
| 40000000 |
| x2 |
≥980000
取等号的条件是x=10．
点评：本题考查基本不等式的实际应用，函数的性质．建立正确的函数关系式是前提，准确应用不等式求解是保障．在求定义域是一方面要有x＞0，另一方面还要根据x与y满足的等量关系式求解．
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如图所示为某风景区设计建造的一个休闲广场，广场的中间造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成对称的十字形区域，十字形区域面积为2000m2，计划在正方方形MNPQ上建一座“观景花坛”，造价为每平方4100元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺石材地坪，价格为每平方110元，再在四个空角（如△DQH等）上铺草坪，价格为每平方80元．设AD长为xm，DQ长为ym．