Question

【题目】已知函数f(x)＝ln2x－2aln(ex)＋3，x∈[e－1，e2]

(1)当a＝1时，求函数f(x)的值域；

(2)若f(x)≤－alnx＋4恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)[0,4]．(2)a≥.

【解析】

试题（1）先换元，转化为二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系求值域，（2）先换元，转化为二次不等式恒成立问题，再根据二次函数对称轴与定义区间位置关系，分类讨论实数a的取值范围．

试题解析：(1)当a＝1时，y＝f(x)＝ln2x－2lnx＋1，

令t＝lnx∈[－1,2]，

∴y＝t2－2t＋1＝(t－1)2，

当t＝1时，取得最小值0；t＝－1时，取得最大值4.

∴f(x)的值域为[0,4]．

(2)∵f(x)≤－alnx＋4，

∴ln2x－alnx－2a－1≤0恒成立，

令t＝lnx∈[－1,2]，∴t2－at－2a－1≤0恒成立，

设y＝t2－at－2a－1，

∴当≤，即a≤1时，ymax＝－4a＋3≤0，∴≤a≤1，

当＞，即a＞1时，ymax＝－a≤0，∴a＞1，

综上所述，a≥.