Question

【题目】已知点是圆：上任意一点，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线与交于点.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点的动直线与点的轨迹交于两点，在轴上是否存在定点使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点.

【解析】试题分析：（1）由圆的方程求出F1、F2的坐标，结合题意可得点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，并求得a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；

（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出A，B横坐标的和与积，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，可得即．利用向量的坐标运算即可求得m值，即定点Q得坐标．

试题解析：

解：（1）由题意得，

∴点的轨迹为以为焦点的椭圆

∵，

∴

∴点的轨迹的方程为.

（2）当直线的斜率存在时，可设其方程为，设

联立可得，

由求根公式可得

假设在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点，

则即

∵

，

，

由解得

∴在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点.

当直线的斜率不存在时，经检验可知也满足以为直径的圆恒过点.

因此在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点.