题目内容
在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=x+m与椭圆C：
+
=1相交于A、B两点，且OA+OB＞AB．
（1）求m的取值范围；
（2）若以AB为直径的圆经过O点，求直线l的方程．
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 4 |
（1）求m的取值范围；
（2）若以AB为直径的圆经过O点，求直线l的方程．
（1）由方程组
得：5x2+8mx+（4m2-16）=0，…（2分）
因为直线 l椭圆C有两个交点，所以△=（8m）2-4×5×（4m2-16）＞0…（4分），
解得-2
＜m＜2
…（5分），
又因为OA+OB＞AB，所以O∉l，m≠0，所以m的取值范围是（-2
，0）∪（0，2
）…（6分）．
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由（1）得x1+x2=-
，x1•x2=
，
以AB为直径的圆经过点，所以∠AOB=90°…（8分），
•
=x1•x2+y1•y2=0…（9分），
由y1=x1+m，y2=x2+m，…（10分），
得
•
=x1•x2+y1•y2=2x1•x2+m（x1+x2）+m2
=
-
+m2=0…（12分），
解得m=±
…（13分），所以直线l的方程是：
y=x+
或y=x-
…（14分）．
|
因为直线 l椭圆C有两个交点，所以△=（8m）2-4×5×（4m2-16）＞0…（4分），
解得-2
| 5 |
| 5 |
又因为OA+OB＞AB，所以O∉l，m≠0，所以m的取值范围是（-2
| 5 |
| 5 |
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由（1）得x1+x2=-
| 8m |
| 5 |
| 4m2-16 |
| 5 |
以AB为直径的圆经过点，所以∠AOB=90°…（8分），
| QA |
| OB |
由y1=x1+m，y2=x2+m，…（10分），
得
| QA |
| OB |
=
| 8m2-32 |
| 5 |
| 8m2 |
| 5 |
解得m=±
4
| ||
| 5 |
y=x+
4
| ||
| 5 |
4
| ||
| 5 |
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