Question

已知已知函数，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，试比较2S_n与1的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得，，
∴，即．
∴数列是首项，公差d=2的等差数列．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴，（8分）
∴，（10分）
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃++a_na_n+1=
==．（14分）
∴（n∈N^*），∴2S_n＜1．（16分）
分析：本题考查了函数和数列的关系、等差数列的证明、数列的求和等知识点．
（Ⅰ）根据所给函数及数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）即可获得{a_n}的递推关系，然后通过推出得到证明．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的基础上易得a_na_n+1=，由此不难想到“裂项法”求和．
点评：本题综合性较强，涉及了多个知识点的融合，揭示了函数和数列的内在联系，并且在构造数列，证明等差数列，裂项求和等方面设计了很好的情景，是一个培养逻辑推理能力和思维能力的好题，而且也代表了目前高考试题的方向．