Question

已知函数，数列{a_n}满足a₁=a（a≠-2，a∈R），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）若数列{a_n}是常数列，求a的值；
（2）当a₁=2时，记，证明数列{b_n}是等比数列，并求出通项公式a_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由数列{a_n}是常数列，知a₂=f（a₁）=a，解方程即得a的值；
（2）由，知，由a_n+1=f（a_n）再化简整理，得，即，可证{b_n}是等比数列，先求出{b_n}的通项，再求通项公式a_n．
解答：解（1）∵，且数列{a_n}是常数列，
∴a₂=a₁=a，即，解得a=-1，或a=1．
∴所求实数a的值是1或-1．
（2）∵，
∴，即．
∴数列{b_n}是以为首项，公比为的等比数列，于是．
由，即，解得．
∴所求的通项公式．
点评：本题考查了常数列、等比数列以及数列通项公式的概念，也考查了方程的思想，转化构造的能力和计算能力．