Question

8．设${（{2x+\frac{1}{2}}）^{10}}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_{10}}{x^{10}}$．
（1）求a₀+a₁+a₂+…+a_n；
（2）记a_n（0≤n≤10）的最大值．

Answer 1

分析 （1）在所给的等式中，令n=1，可得a₀+a₁+a₂+…+a_n的值．
（2）由题意可得a_n为xⁿ的系数，利用通项公式可得a_n=${C}_{10}^{n}$•2^10-2n，检验可得a_n的最大值．

解答 解：（1）在设${（{2x+\frac{1}{2}}）^{10}}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_{10}}{x^{10}}$中，令x=1，可得a₀+a₁+a₂+…+a_n=${（\frac{5}{2}）^{10}}$．
（2）∵由题意可得a_n为xⁿ的系数，∴a_n=${C}_{10}^{n}$•2^10-n•${（\frac{1}{2}）}^{n}$=${C}_{10}^{n}$•2^10-2n，
再根据0≤n≤10，检验可得，当n=2时，a_n=${C}_{10}^{n}$•2^10-2n 取得最大值为a₂=2880．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．