Question

【题目】已知函数，，．

(1)若，，求函数的单调区间；

(2)设．

(i)若函数有极值，求实数的取值范围；

(ii)若()，求证：．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）求出的导数，解关于导函数的方程，从而求出函数的单调区间即可；

（2）(i)=，定义域为(0，+∞)，，对a分类讨论结合极值的概念得到实数的取值范围；

(ii) 不妨取，欲证，只需证明．

(1)当，时，，定义域为，

．

令，得；令，得．

所以函数的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞)．

(2)(i) =，定义域为(0，+∞)，

，

①当时，，函数在(0，+∞)上为单调递增函数，

不存在极值．

②当时，令，得，，

所以，易证在上为增函数，

在上为减函数，所以当时，取得极大值．

所以若函数有极值，实数的取值范围是．

(ii)由(i)知当时，不存在，使得，当时，存在，使得，不妨取，

欲证，只需证明．

因为函数在上为减函数，故只需证，

即证，即证．

令，

则．

设，则，

因为，，所以在上为减函数，

，

所以在上为增函数，所以，

即，故成立．