Question

【题目】已知椭圆的长轴长为4，且短轴长是长轴长的一半．

（1）求椭圆的方程；

（2）经过点作直线，交椭圆于，两点．如果恰好是线段的中点，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根据题意，由椭圆的几何性质分析可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆方程即可得答案；

（2）根据题意，设直线l的方程为：，将直线与椭圆的方程联立，分析可得，设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系以及中点坐标公式分析可得，解可得k的值，代入直线方程即可得答案．

（1）根据题意，椭圆的长轴长为4，且短轴长是长轴长的一半．

即，则，

，则，

故椭圆的方程为；

（2）由（1）得故椭圆的方程为：，设直线l的方程为：，

将直线代入椭圆方程，得，

设，，则，

恰好是线段的中点，，即，

解得，

则直线的方程为，变形可得．