Question

9．已知函数f（x）=|x+a|+|x-4|．
（Ⅰ）若a=1，解不等式：f（x）≤2|x-4|；
（Ⅱ）若f（x）≥3恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a=1，不等式：f（x）≤2|x-4|化为|x+1|＜|x-4|，两边平方，可解不等式；
（Ⅱ）f（x）=|x+a|+|x-4|≥|a+4|．若f（x）≥3恒成立，则|a+4|≥3，即可求a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x-4|则f（x）＜2|x-4|，即|x+1|＜|x-4|．
两边平方可得x²+2x+1＜x²-8x+16，∴x＜1.5
∴解集为{x|x＜1.5}；
（Ⅱ）f（x）=|x+a|+|x-4|≥|a+4|．
∵f（x）≥3恒成立，
∴|a+4|≥3，
∴a+4≤-3或a+4≥3，
∴a≤-7或a≥-1．

点评 本题考查绝对值不等式，考查三角不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．