Question

（本小题满分14分）

已知函数，．

（Ⅰ）如果函数在上是单调增函数，求的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（本小题满分14分）

       解：（Ⅰ）当时，在上是单调增函数，符合题意．…1分

       当时，的对称轴方程为，

由于在上是单调增函数，

所以，解得或，

所以．                           ……………………3分

       当时，不符合题意．

       综上，的取值范围是．                   ……………………4分

       （Ⅱ）把方程整理为，

       即为方程．                   ……………………5分

       设 ，   

原方程在区间（）内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数在区间（）内有且只有两个零点．                         ……………………6分

                  …………………7分

       令，因为，解得或（舍）   …………………8分

       当时, ,  是减函数；  

当时, ，是增函数．           …………………10分

在（）内有且只有两个不相等的零点, 只需

                                      …………………13分

即  ∴

解得, 所以的取值范围是（） ．    …………………14分

注：若有其它解法，请酌情给分．