Question

已知F₁，F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F₁PF₂=60°，则椭圆离心率e的取值范围是（　　）

• A．

  2

  2

  ≤e＜1
• B．0＜e＜

  2

  2

• C．

  1

  2

  ≤e＜1
• D．

  1

  2

  ≤e＜

  2

  2

Answer 1

分析：设P为椭圆上一个动点，则当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F₁PF₂渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P₀处时，张角∠F₁PF₂达到最大值．由此可根据题意得：在Rt△P₀OF₂中，∠OP₀F₂≥30°，所以
P₀O≤

3

OF₂，代入数据化简，可得a²≤4c²，即

c2

a2

≥

1

4

，最后结合椭圆离心率e=

c

a

∈（0，1），可得到该椭圆离心率e的取值范围．

解答：解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F₁PF₂渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P₀处时，
张角∠F₁PF₂达到最大值．由此可得：
∵存在点P为椭圆上一点，使得∠F₁PF₂=60°，
∴△P₀F₁F₂中，∠F₁P₀F₂≥60°，可得Rt△P₀OF₂中，∠OP₀F₂≥30°，
所以P₀O≤

3

OF₂，即b≤

3

c，其中c=

a2-b2

∴a²-c²≤3c²，可得a²≤4c²，即

c2

a2

≥

1

4

∵椭圆离心率e=

c

a

，且a＞c＞0
∴

1

2

≤e＜1
故选C

点评：本题根据椭圆上一点对两个焦点的张角大于或等于60度，求椭圆离心率的取值范围，着重考查了直角三角形的三角函数和椭圆的简单几何性质等知识点，属于基础题．