Question

已知椭圆的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且.
（1）求椭圆C和直线l的方程；
（2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．若
曲线与D有公共点，试求实数m的最小值．

Answer 1

（1） 
（2）

（1）由离心率，得，即.   ① ………2分

又点在椭圆上，即.    ② ……4分
解①②得，
故所求椭圆方程为.          …………………6分
由得直线l的方程为. ………8分
（2）曲线，
即圆，其圆心坐标为，半径，表示圆心在直线上，半径为的动圆.                ……… 10分
由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑的情形.
设与直线l相切于点T，则由，得，………… 12分
当时，过点与直线l垂直的直线的方程为，
解方程组得.                       ………… 14分
因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为， 
所以切点，由图可知当过点B时，m取得最小值，即，
解得.                                     ………… 16分