Question

（2011•邢台一模）如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA=AD=1，PA⊥面ABCD，E是AB的中点，F为PC上一点，且EF∥面PAD．
（I）证明：F为PC的中点；
（II）若二面角C-PD-E的平面角的余弦值为

6

3

，求直线ED与平面PCD所成的角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由EF∥面PAD，根据过A、E、F三点可以确定平面，找出过三点的平面与平面PAD的交线，得到平面与PD的交点G，然后利用线面平行的判定及性质证明FG平行切等于CD的一半，从而说明F为PC的中点；
（Ⅱ）首先找出二面角C-PD-E的平面角，经分析可知∠FGE为二面角的平面角，在直角三角形GFE中，由∠FGE的余弦值为

6

3

列式求解得到AB的长度，在轴在直角三角形EFD中通过解直角三角形求得直线ED与平面PCD所成的角．

解答：（Ⅰ）证明：如图，
设平面AEF∩直线PD=G，则平面AEF∩平面PAD=AG，
∵EF∥平面PAD，∴EF∥AG，
又AE∥CD，∴AE∥面PCD，又平面AEF∩平面PCD=FG，
∴AE∥FG．
故四边形AEFG是平行四边形．
又E是AB的中点，即AE=

1

2

AB=

1

2

CD．
∴FG=

1

2

CD，而FG∥AE∥CD，
∴F是PC的中点；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知F、G分别为PC、PD的中点，又PA=AD．
∴AG⊥PD，而EF∥AG，
∴EF⊥PD，
易知Rt△PAE≌Rt△CBE，∴PE=EC，∴EF⊥PC，又PC∩PD=P，
∴EF⊥平面PCD．
又PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，由三垂线定理，得CD⊥PD．
∵FG∥CD，∴FG⊥PD．
连结EG，由三垂线定理知，EG⊥PD，∴∠FGE为二面角C-PD-E的平面角．
设AB=2a，则FG=

1

2

CD=

1

2

AB=a．
在Rt△EFG中，EG=

EF2+FG2

=

( 2 2 )2+a2

．
∴cos∠FGE=

FG

EG

=

6

3

，解得a=1，∴AB=2．
连结FD，则∠EDF即为ED与平面PCD所成的角．
∴sin∠EDF=

EF

ED

=

AG

AE2+AD2

=

1

2

．
即直线ED与平面PCD所成的角为30°．

点评：本题考查了空间直线与直线的位置关系，考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角及二面角，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，训练了三垂线定理的用法，是中档题．