Question

（2011•邢台一模）已知有下列四个命题：
①函数f（x）=2^x-x²在（-∞，0）是增函数；
②若f（x）在R上恒有f（x+2）•f（x）=1，则4为f（x）的一个周期；
③函数y=2cosx²+sin2x的最小值为

2

+1；
④对任意实数a、b、x、y，都有ax+by≤

a2+b2

•

x2+y2

；
则以上命题正确的是

①②④

．

Answer 1

分析：①求导，判断导函数的符号，从而确定命题的正确与否；
②以x+2代f（x+2）•f（x）=1中的x，得到f（x+4）=f（x），从而得到结论；
③先利用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用公式 asinx+bcosx=

a2+b2

sin（x+θ）化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最小值．
④利用基本不等式得 b²x²+a²y²≥2abxy，把 b²x²+a²y²≥2abxy 的两边同时加上a²x²+b²y²，即可得到（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²成立，从而得出结论．

解答：解：①f′（x）=2^xln2-2x＞0（x＜0），∴函数f（x）=2^x-x²在（-∞，0）是增函数；故该命题正确；
②∵f（x+2）•f（x）=1，∴f（x+4）•f（x+2）=1，∴f（x+4）=f（x），故4为f（x）的一个周期；该命题正确；
③y=2cos²x+sin2x
=1+cos2x+sin2x
=1+

2

（

2

2

cos2x+

2

2

sin2x）
=1+

2

sin（2x+

π

4

）
当 2x+

π

4

=2k π-

π

2

，有最小值1-

2

．故该命题错；
④∵b²x²+a²y²≥2abxy，∴a²x²+b²y²+b²x²+a²y²≥a²x²+b²y²+2abxy，
即（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²成立，
∴ax+by≤

a2+b2

•

x2+y2

；故该命题错；
故答案为：①②④．

点评：此题是个基础题．考查命题的真假判断与应用，考查函数的周期性的定义，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．