Question

7．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{4}{x}+1，x＞0}\\{-x-\frac{4}{x}+1，x＜0}\end{array}\right.$．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）试用函数单调性定义说明函数f（x）在区间（0，2]和[2，+∞）上的增减性．

Answer 1

分析 （1）利用奇偶性的定义可得结论；
（2）根据函数单调性定义，可得函数f（x）在区间（0，2]上是减函数，在区间[2，+∞）上是增函数；

解答 解：（1）若x＜0，则-x＞0，则f（-x）=-x-$\frac{4}{x}$+1=f（x），
若x＞0，则-x＜0，则f（-x）=x+$\frac{4}{x}$+1=f（x），
综上f（-x）=f（x），即函数f（x）是偶函数．
（2）当x＞0时，$f（x）=x+\frac{4}{x}+1$
设0＜x₁＜x₂，则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}{x_2}-4）}}{{{x_1}{x_2}}}$
∴当0＜x₁＜x₂≤2时，f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
当2≤x₁＜x₂时，f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）在区间（0，2]上是减函数，在区间[2，+∞）上是增函数．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．属于中档题．