Question

设函数.
（1）研究函数的极值点；
（2）当时，若对任意的，恒有，求的取值范围；
（3）证明：.

Answer 1

（1）详见解析；（2）实数的取值范围是；（3）详见解析.

试题分析：（1）先求出函数的导数，对的符号进行分类讨论，即对函数是否存在极值点进行分类讨论，结合函数的单调性或导数符号确定函数的极大值或极小值；（2）利用（1）中的结论，将问题转化为，结合（1）中的结论列不等式解参数的取值范围；（3）在（2）中，令，得到不等式在上恒成立，然后令得到，两边同除以得到
，结合放缩法得到，最后；利用累加法即可得到所证明的不等式.
试题解析：（1），
 
当 上无极值点 
当p>0时，令的变化情况如下表：

x	(0，)
	+	0	－
	↗	极大值	↘

从上表可以看出：当p>0 时，有唯一的极大值点 
（2）当时在处取得极大值，
此极大值也是最大值，要使恒成立，只需，
∴，即p的取值范围为[1，+∞；
（3）令，由（2）知，
∴，∴，
∴ 

,∴结论成立
另解：设函数，则，令，解得，则，
∴==（