题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，四边形
是边长为8的菱形，
，
是等边三角形，二面角
的余弦值为
.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求直线
与平面
夹角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见证明(Ⅱ) 
【解析】
（Ⅰ）通过几何关系得到
平面
进而得到异面直线垂直；（Ⅱ）建立空间坐标系得到直线的方向向量和面的法向量，进而得到线面角.
（Ⅰ）连接
交
于点O.
因为四边形
是菱形，所以
，且和互相平分.
又因为
，O为的中点，所以
，
又因为
，所以平面.
因为
平面，所以
.
（Ⅱ）过点
作
交点为
，因为平面，所以
，
因为
，所以
平面.
易知
为二面角
的平面角，所以
，
.
又因为
，所以
和
都是边长为8的等边三角形.
所以
，则
，
.
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
.
所以
，
，
.
设平面
的法向量为
，则
，
即
，则
.
所以
，
所以直线
与平面夹角的正弦值为.
【题目】为研究男、女生的身高差异，现随机从高二某班选出男生、女生各10人，并测量他们的身高，测量结果如下（单位：厘米）：
男：164 178 174 185 170 158 163 165 161 170
女：165 168 156 170 163 162 158 153 169 172
（1）根据测量结果完成身高的茎叶图（单位：厘米），并分别求出男、女生身高的平均值.
（2）请根据测量结果得到20名学生身高的中位数
（单位：厘米），将男、女生身高不低于和低于的人数填入下表中，并判断是否有
的把握认为男、女生身高有差异？
人数 | 男生 | 女生 |
身高 | ||
身高 |
参照公式：
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | .024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（3）若男生身高低于165厘米为偏矮，不低于165厘米且低于175厘米为正常，不低于175厘米为偏高.假设可以用测量结果的频率代替概率，试求从高二的男生中任意选出2人，恰有1人身高属于正常的概率.
