Question

已知函数f（x）=（x-1）²-aln|x-1|（a∈R，a≠0）．
（Ⅰ）当a=8时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[e+1，e²+1]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把a=8代入函数f（x）=（x-1）²-aln|x-1|，得f（x）=（x-1）²-8ln（x-1），求出f′（x），然后根据导数判断函数的单调性；
（Ⅱ）由题意f（x）=（x-1）²-8ln（1-x），然后求出，然后分类讨论①a＜0；②a＞0；从而得出函数f（x）在区间[e+1，e²+1]上的最小值．
解答：解：（Ⅰ）
（1）当x＞1时，f（x）=（x-1）²-8ln（x-1），．
由f'（x）＞0得2（x-1）²-8＞0，解得x＞3或x＜-1．
注意到x＞1，所以函数f（x）的单调递增区间是（3，+∞）．
由f'（x）＜0得2（x-1）²-8＜0，解得-1＜x＜3，
注意到x＞1，所以函数f（x）的单调递减区间是（1，3）．
（2）当x＜1时，f（x）=（x-1）²-8ln（1-x），
，
由f'（x）＞0得2（x-1）²-8＜0，解得-1＜x＜3，
注意到x＜1，所以函数f（x）的单调递增区间是（-1，1）．
由f'（x）＜0得2（x-1）²-8＞0，解得x＞3或x＜-1，
由x＜1，所以函数f（x）的单调递减区间是（-∞，-1）．
综上所述，函数f（x）的单调递增区间是（-1，1），（3，+∞）；
单调递减区间是（-∞，-1），（1，3）．（5分）

（Ⅱ）当x∈[e+1，e²+1]时，f（x）=（x-1）²-aln（x-1），
所以，
设g（x）=2x²-4x+2-a．
（1）当a＜0时，有△＜0，此时g（x）＞0，所以f'（x）＞0，f（x）在[e+1，e²+1]上单调递增．
所以f（x）_min=f（e+1）=e²-a
（2）当a＞0时，△=16-4×2（2-a）=8a＞0．
令f'（x）＞0，即2x²-4x+2-a＞0，解得或（舍）；
令f'（x）＜0，即2x²-4x+2-a＜0，解得．
①若，即a≥2e⁴时，f（x）在区间[e+1，e²+1]单调递减，
所以f（x）_min=f（e²+1）=e⁴-2a．
②若，即2e²＜a＜2e⁴时，f（x）在区间上单调递减，
在区间上单调递增，所以．
③若，即0＜a≤2e²时，f（x）在区间[e+1，e²+1]单调递增，
所以f（x）_min=f（e+1）=e²-a．
综上所述，当a＜0或0＜a≤2e²时，f（x）_min=f（e+1）=e²-a；
当2e²＜a＜2e⁴时，；
当a≥2e⁴时，f（x）_min=e⁴-2a．（13分）
点评：此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题．