Question

【题目】曲线的参数方程为（为参数），是曲线上的动点，且是线段的中点，点的轨迹为曲线，直线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）写出过点的直线的参数方程，并求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（为参数）；

【解析】

（1）设，则，由点在曲线上可将M点的坐标代入曲线参数方程中得点P的轨迹方程，再将参数方程转化为普通方程即可；利用两角和的正弦公式及可将直线l的极坐标方程化为普通方程；

（2）利用点M的坐标求出直线的参数方程，与曲线的普通方程联立得关于t的一元二次方程，根据t的几何意义可得结果.

（1）设，由条件知，因为点在曲线上，

所以，即，

所以曲线的普通方程.

直线的方程为，由知直线l的直角坐标方程为.

（2）点在直线上，则直线的参数方程为（为参数），

代入曲线的普通方程得：

，

所以.