题目内容

求证：1＋＋＋…＋<2－1(n≥2且n∈N*)．

 

答案：
解析：

证明：(1)n＝2时，左边＝1＋＝，

右边＝2－1＝＝>

左<右，∴不等式成立．

(2)假设n＝k时，不等式成立(k≥2且k∈N)

即：1＋＋＋…＋<2－1

当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋<2－1＋

欲证原不等式成立．

只须证：2－1＋<2－12－＋1<2(k＋1)－2<2k＋14k2＋4k<4k2＋4k＋10<1显然成立．

∴n＝k＋1时，原不等式成立．

由(1)、(2)对一切n∈N原不等式都成立．

 


练习册系列答案
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数列{an}满足：对任意的正整数m，n；s，t，若m+n=s+t，则
(1+am)(1+an)
am+an
=
(1+as)(1+at)
as+at
，且a1=3，a2=-
1
3
．
（1）求证：
(1-am)(1-an)
am+an
=
(1-as)(1-at)
as+at
；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）记cn=a2n-a2n+1（n∈N*），求证：c1+c2+…+cn＜
4
3
．
有一个项数为10的实数等比数列{an}，Sn（n≤10）表示该数列的前n项和．当2≤n≤10时，若Sk，S10，S7成等差数列，求证ak-1，a9，a6也成等差数列．
已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．
（Ⅰ）当a=-
1
4
时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）求证：(1+
2
2×3
)(1+
4
3×5
)(1+
8
5×9
)•…•[1+
2n
(2n-1+1)(2n+1)
]＜e（其中n∈N*，e是自然对数）．
已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：(1+
1
a
)(1+
1
b
)≥9．
已知a，b，c∈（0，1）．
（1）若(1-a)b＞
1
4
，求证：
(1-a)+b
2
＞
1
2
．
（2）求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三数中至少有一个小于或等于
1
4
．

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