Question

数列{a_n}满足：对任意的正整数m，n；s，t，若m+n=s+t，则

(1+am)(1+an)

am+an

=

(1+as)(1+at)

as+at

，且a1=3，a2=-

1

3

．
（1）求证：

(1-am)(1-an)

am+an

=

(1-as)(1-at)

as+at

；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记c_n=a_2n-a_2n+1（n∈N*），求证：c1+c2+…+cn＜

4

3

．

Answer 1

分析：（1）由于

(1-am)(1-an)

am+an

=

(1+am)(1+an)

am+an

-2，所以条件可化为

(1-am)(1-an)

am+an

=

(1-as)(1-at)

as+at

．故可得证．
（2）将（1）式结论与条件相除得

1-am

1+am

1-an

1+an

=

1-as

1+as

1-at

1+at

，令bn=

1-an

1+an

，则：b_mb_n=b_sb_t由于1+n=2+（n-1），从而有b₁b_n=b₂b_n-1，可证数列为等比数列，从而求出数列的通项公式；
（3）先证明cn＜

20

16n

，利用等比数列的求和公式求和，再进行放缩即可．

解答：证明：（1）由

(1+am)(1+an)

am+an

=

(1+as)(1+at)

as+at

①，
得

(1+am)(1+an)

am+an

-2=

(1+as)(1+at)

as+at

-2，
即

(1-am)(1-an)

am+an

=

(1-as)(1-at)

as+at

②…（4分）
（2）由②÷①得：

1-am

1+am

1-an

1+an

=

1-as

1+as

1-at

1+at

，
令bn=

1-an

1+an

，则：b_mb_n=b_sb_t由于1+n=2+（n-1），所以：b₁b_n=b₂b_n-1，所以：bn=

b2

b1

bn-1，即：b_n=-4b_n-1（n≥2），所以：b_n=b₁（-4）^n-1=-

1

2

(-4)n-1，所以an=

2+(-4)n-1

2-(-4)n-1

（n∈N*）…（8分）
（3）c_n=a_2n-a_2n+1=

20•16n

(16n+8)(16n-2)

=

20•16n

(16n)2+6•16n-16

＜

20

16n

所以c1+c2+…+cn＜

n

k=1

20

16k

=

20(1- 1 16n )

15

＜

20

15

=

4

3

…（12分）

点评：本题的关键是挖掘结论与条件之间的联系，有一定的技巧性，综合性强．