Question

已知a，b，c∈（0，1）．
（1）若(1-a)b＞

1

4

，求证：

(1-a)+b

2

＞

1

2

．
（2）求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三数中至少有一个小于或等于

1

4

．

Answer 1

分析：（1）由于(1-a)b＞

1

4

，再由基本不等式可得

(1-a)+b

2

≥2

(1-a)b

，由此证得命题成立．
（2）用反证法，假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三数都大于

1

4

，由（1）得

(1-a)+b

2

＞

1

2

，同理可得

(1-b)+c

2

＞

1

2

，

(1-c)+a

2

＞

1

2

，把这三个不等式相加可推出矛盾，故假设不正确，即命题正确．

解答：解：（1）a，b，c∈（0，1），∴1-a＞0，b＞0．
∵(1-a)b＞

1

4

，∴

(1-a)+b

2

≥

(1-a)b

＞

1 4

=

1

2

．
故

(1-a)+b

2

＞

1

2

成立．
（2）证明：假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三数都大于

1

4

，由（1）得

(1-a)+b

2

＞

1

2

，
同理可得

(1-b)+c

2

＞

1

2

，

(1-c)+a

2

＞

1

2

，
把这三个不等式相加可得

(1-a)+b

2

+

(1-b)+c

2

+

(1-c)+a

2

＞

3

2

，即

3

2

 ＞

3

2

，矛盾，
从而得到假设不成立，即（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三数中至少有一个小于或等于

1

4

．

点评：本题主要考查用反证法、放缩法证明数学命题，基本不等式的应用，推出矛盾，是解题的关键和难点，属于中档题．