Question

8．在等比数列{a_n}中，各项都是正数，若a₁+a₂+a₃=1，a₇+a₈+a₉=4，则数列{a_n}的前15项的和为31．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q＞0，由a₁+a₂+a₃=1，a₇+a₈+a₉=4，可得${a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=1，${a}_{1}{q}^{6}（1+q+{q}^{2}）$=4，可得q³=2，$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=1-q³．再利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q＞0，
∵a₁+a₂+a₃=1，a₇+a₈+a₉=4，
则${a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=1，${a}_{1}{q}^{6}（1+q+{q}^{2}）$=4，
∴q⁶=4，
∴q³=2．
∴${a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$（1-q）=1-q，可得$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=1-q³=-1．
∴数列{a_n}的前15项的和=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{15}）}{1-q}$=q¹⁵-1=2⁵-1=31．
故答案为：31．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．