Question

1．已知函数f（x）=xlnx-ax²+（2a-1）x．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，求函数f（x）的单调区间；
（2）若x∈[1，+∞）时恒有f（x）≤a-1，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的解析式，求出导数，令g（x）=1+lnx-x，求出导数，单调区间和最大值，即可得到f（x）的单调区间；
（2）当x≥1时，f（x）≤a-1，即为xlnx-ax²+（2a-1）x≤a-1，讨论x=1和x＞1，由参数分离和构造函数g（x）=xlnx-（x-1）-（x-1）²（x＞1），求出导数和单调性，即可判断g（x）的单调性，可得a的范围．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$x²，x＞0．
f（x）的导数为f′（x）=1+lnx-x，
令g（x）=1+lnx-x，g′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增．
即有g（x）在x=1处取得极大值，且为最大值0．
则g（x）≤0，即1+lnx-x≤0，
即f′（x）≤0，则f（x）在（0，+∞）递减．
综上可得，f（x）的减区间为（0，+∞），无增区间；
（2）当x≥1时，f（x）≤a-1，
即为xlnx-ax²+（2a-1）x≤a-1，
当x=1时，上式显然成立．
当x＞1时，可得a≥$\frac{xlnx-x+1}{（x-1）^{2}}$．
由$\frac{xlnx-x+1}{（x-1）^{2}}$-1=$\frac{xlnx-（x-1）-（x-1）^{2}}{（x-1）^{2}}$，
设g（x）=xlnx-（x-1）-（x-1）²（x＞1），
g′（x）=1+lnx-1-2（x-1）=lnx-2（x-1），
由g″（x）=$\frac{1}{x}$-2＜0在x＞1恒成立，
可得g′（x）在（1，+∞）递减，可得g′（x）＜g′（1）=0，
即g（x）在（1，+∞）递减，可得g（x）＜g（1）=0，
则$\frac{xlnx-x+1}{（x-1）^{2}}$＜1成立，
即有a≥1．
即a的范围是[1，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，求得导数判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．