Question

已知椭圆=1(a＞b＞0)的离心率为，直线y=x+1与椭圆相交于A、B两点，点M在椭圆上， = +，求椭圆的方程.

Answer 1

+y²=1

由e=得a²=4b²,椭圆可化为:
x²+4y²=4b².
将y=x+1代入上式，消去y并整理得：
x²+2x+2-2b²="0.                                                " ①
∵直线y=x+1与椭圆交于A、B两点，
∴Δ=4-4（2-2b²）＞0,∴b＞.
设A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),M(x,y),则由
= +,
得.
∵M在椭圆上，∴（x₁+x₂)²+(y₁+y₂)²=4b²,
∴x₁x₂+4y₁y₂=0.
∴x₁x₂+·4=0，
即x₁x₂+(x₁+x₂)+2="0                            " ②
又由①知x₁+x₂=-2,x₁·x₂=2-2b²,
代入②中得b²=1,满足b＞.
∴椭圆方程为+y²=1.