Question

（1）求椭圆的离心率；
（2）若左焦点设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与x轴交于，求点横坐标的取值范围.

Answer 1

（1）（2）

（1）解法1：由题设AF₂⊥F₁F₂，及F₁（－c,0），F₂（c,0），不妨设点A（c,y），其中y>0.
由于点A在椭圆上，有
即.……………………2分
直线AF₁的方程为
由题设，原点O到直线AF₁的距离为…………4分
将，进而求得……6分
解法2：设O到直线AF₁的垂足为E，则
Rt△OEF₁—Rt△AF₂F₁，
 （*）……………………2分
由已知条件可求得………………3分
又…………4分
代入（*）式得
将代入并化简，得进而求得…………6分
（2）∵左焦点F₁（－1，0）
∴椭圆的方程为                     ………………  7分
设直线BC的方程为代入椭圆方程并整理得

 
记B
则
                             …………………10分
∴BC的垂直平分线NG的方程为
                                     …………… 11分
令y=0得

                                          …………12分

                                          ……………13分
即点G横坐标的取值范围为                        ……………14分