Question

16．己知P是面积为S三角形ABC内部点，则三角形PBC的面积大于$\frac{S}{3}$的概率是$\frac{4}{9}$．

Answer 1

分析 设AB、AC上分别有点D、E满足AD=$\frac{2}{3}$AB，且AE=$\frac{2}{3}$AC，可得△ADE∽△ABC，且相似比为$\frac{2}{3}$．根据题意，当P在△ADE内运动时，△PBC的面积大于△ABC面积的$\frac{1}{3}$，由此结合相似三角形的性质和几何概型计算公式即可得到本题的概率．

解答 解：设AB、AC上分别有点D、E满足AD=$\frac{2}{3}$AB，且AE=$\frac{2}{3}$AC
∴△ADE∽△ABC，∴DE∥BC，且DE=$\frac{2}{3}$BC，
∵A到DE的距离等于A到BC距离的$\frac{2}{3}$，
∴DE到BC的距离等于△ABC高的$\frac{1}{3}$，
当动点P在△ABC内部运动，且在△ADE内时，P到BC的距离大于DE到BC的距离，
因此，当P在△ADE内运动时，△PBC的面积大于△ABC面积的$\frac{S}{3}$，
∴△PBC的面积大于$\frac{S}{3}$的概率是P=$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{4}{9}$．
故答案为：$\frac{4}{9}$．

点评 本题给出△ABC内部一点P，求△PBC的面积大于△ABC面积的$\frac{1}{3}$的概率．着重考查了相似三角形的性质和几何概型计算公式等知识，属于中档题．