Question

1．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为a的正三角形，侧棱长为$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，点D在棱A₁C₁上．
（1）若A₁D=DC₁，求证：直线BC₁∥平面AB₁D；
（2）是否存在D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁？若存在，请确定D的位置．

Answer 1

分析 （1）连接A₁B交AB₁于E点，由A₁D=DC₁，结合三角形中位线定理可得DE∥BC₁，进而根据线面平行的判定定理得到直线BC₁∥平面AB₁D；
（2）过点D作DN⊥AB₁于N，过D作DM⊥A₁B₁于M，由线面垂直的判定定理及同一法，可得M、N应重合于B₁点，由点D在棱A₁C₁上，故∠A₁B₁D≤∠A₁B₁C₁=60⁰，故不存在这样的点D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁．

解答 解：（1）证明：连接A₁B交AB₁于E点，
在平行四边形ABB₁A₁中，有A₁E=BE，又A₁D=DC₁…（2分）
∴DE为△A₁BC₁的中位线，从而DE∥BC₁，
又DE?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D，
∴直线BC₁∥平面AB₁D…（4分）
（2）假设存在点D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁，
过点D作DN⊥AB₁于N，则DN⊥平面ABB₁A₁，
又过D作DM⊥A₁B₁于M，则DM⊥平面ABB₁A₁，…（6分）
而过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，
故M、N应重合于B₁点，此时应有DB₁⊥A₁B₁，故∠A₁B₁D=90°，…（7分）
又点D在棱A₁C₁上，故∠A₁B₁D≤∠A₁B₁C₁=60⁰，
显然矛盾，故不存在这样的点D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁．…（9分）

点评 本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合体，直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得DE∥BC₁，（2）的关键是使用反证法和同一法等间接手法进行证明．